习题 29, § 1

令 E 为赋范空间，E' 为对偶。从$E - \{0\}$到$E' - \{0\}$的映射$f$被称为*支持映射*，如果它是正齐次的，并且如果对于每个$x \in E$使得$\|x\| = 1$，我们有$\|f(x)\| = 1$和$\langle x, f(x) \rangle = 1$。为了使 E 平滑（V，p. 66，执行 26），存在从 $E - \{0\}$ 到$E' - \{0\}$ 的唯一支持映射是必要且充分的。

设S为E中的单位球面，S'为E'中的单位球面，并令$x_0 \in S$。以下条件是等效的： α) $x_0$为E中单位球的光滑度点， β）存在一个支持映射$f$，当S被分配范数拓扑时，其限制到S在点$x_0$连续，并且S'弱拓扑$\sigma(E', E)$。 γ) 对于每个 $y \in E$，映射 $t \mapsto \|x_0 + ty\|$ 在点 $t = 0$ 都有一个导数。 （为了看出 α）蕴含 β），通过 reductio ad absurdum 论证，使用 E' 中单位球的弱紧性。要看到 β) 隐含 γ)，约化对应于 E 是二维的情况，并使用 $t \mapsto \|x_0 + ty\|$ 是凸的事实。） 那么每个支撑映射都在点$x_0$处连续。