习题 34, § 1

设 E 为 Banach 空间，K 为凸有界子集，且对于 $\sigma(E, E')$ 是封闭的。假设对于 K 中的每个序列 $(x_n)$，都存在一个提取的序列 $(x_{n_k})$，使得平均值 $(x_{n_1} + \cdots + x_{n_k})/k$ 的序列对于 $\sigma(E, E')$ 收敛。证明对于 E 上的每个连续线性形式 $x'$，存在 K 的元素 x 使得 $\langle x, x' \rangle = \sup_{y \in K} \langle y, x' \rangle$ （将 K 的点的假设应用于序列 $(x_n)$，使得 $\langle x_n, x' \rangle$ 趋于 $\sup_{y \in K} \langle y, x' \rangle$）。

推断如果 E 有性质的 exerc。 33，d)，则 E 是反身空间 (cf. IV，p. 57，练习 25)。