习题 2, § 2

a) 令 $E_1, E_2$ 为两个希尔伯特空间，其各自的希尔伯特维数为两个基数$m$ 和$n$，使得$m < n \leq m^{N_0}$。令 $E = E_1 \oplus E_2$ 为 $E_1, E_2$ 的希尔伯特和，令 $(b_\lambda)_{\lambda \in L}$ 为 $E_2$ 的正交基。证明 $E_1$ 中存在代数独立的系统 $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$ (cf. exerc. 1, c))；设 $H$ 为由$(a_\lambda + b_\lambda)_{\lambda \in L}$ 族（代数上）生成的 $E$ 的子空间。证明$\overline{H}$的希尔伯特维数等于$H$（观察从$H$到$E_2$的正交投影处处稠密，并使用练习1，a））。如果$S$是$H$的正交子集，则证明$S \cap E_2 = \varnothing$；并推断出$\mathrm{Card}(S) \leq m$（观察$E_1$的正交基的每个元素都与$S$的每个元素正交，除了最多与可数无限的子集正交）。 b) 令$E_3$为希尔伯特空间和希尔伯特维数$p \geq n$，并令$F$为希尔伯特和$E \oplus E_3$。设$G$为$F$的子空间$H + E_3$。证明 $\overline{G}$ 的希尔伯特维数为 $p$。如果$T$是$G$的正交子集，则证明$T \cap (E_2 + E_3) \subset E_3$；推导出从$T$到$E_2$的正交投影的基数至多为$m$（如a）中论证）。 结论由此可知 $G$ 没有正交基，由注意到可知，从 $G$ 到 $E_2$ 的正交投影在 $E_2$ 中处处稠密。