习题 7, § 2

给定 Hausdorff prehilbertian 空间 E 中的 $n$ 点 $x_i (1 \leq i \leq n)$，我们的意思是这些 $n$ 点的行列式 * 格拉姆行列式 *

a) 证明 $G(x_1, ..., x_n) \geq 0$ 以及对于 $x_1, ..., x_n$ 到形式一个独立的系统，$G(x_1, ..., x_n) \neq 0$ 是充分必要的（假设 $\dim(E) \geq n$，考虑 $n$ 维子空间包含的正交基） $x_1, ..., x_n$）。 b) 证明如果$x_1, ..., x_n$是E中独立的系统，则由$x_1, ..., x_n$生成的点$x \in E$到向量子空间V的距离等于$(G(x, x_1, ..., x_n)/G(x_1, ..., x_n))^{1/2}$（求正交表达式） V $x$ 的投影）。 c) 令$(x_n)$为E中点的无限序列。为了使族$(x_n)$拓扑独立，对于每个整数$p > 0$，有充分必要，

（使用$b$）。