习题 12, § 4

令$E$为实希尔伯特空间，$V$为$E$中的封闭凸锥，顶点为0，令$V^\circ$为$V$的极锥（在$E$中，用其对偶规范地识别）。 a) 证明每个点 $x \in E$ 都可以唯一地写成形式 $x = x_+ - x_-$，其中$x_+ \in V$、$x_- \in V^\circ$、以及$\langle x_+|x_- \rangle = 0$。 b) 对于$V$的每个面$F$（II，p. 87，练习3），$F$要么是点 0，要么是顶点为0的凸锥；与$F$正交的所有$y \in V^\circ$中的集合是$V^\circ$的封闭面$F'$（但这不是II、p. 87意义上的$F$的“对偶面”，练习6，后者是空）。 c) 取真实希尔伯特空间的所有希尔伯特-施密特自同态的$E$集合，以及$E$中正元素的$V$集合。证明我们有 $V^\circ = V$，在本例中解释 $a$ 的结果（要查看$V \subset V^\circ$，请使用 V、p. 56 的 cor.1）。 d) 在$c$的假设下，令$v \in V$；所有 $x \in H$ 中的集合 $L$ 使得 $\langle v(x)|x \rangle = 0$，或者，相同，使得 $v(x) = 0$ (V, p. 77, 执行.10) 是一个闭向量子空间 $H$，$V$中$v$的面$F$是所有$u \in V$的闭集合，使得$u(x) = 0$对于所有$x \in L$；它可以与希尔伯特空间$L^\circ$的所有正希尔伯特-施密特自同态的锥体等同。推断从$E$到凸集合$F$（V，p. 11）的投影与从$E$到闭向量子空间的正交投影算子相同$E$ 由 $F$ 生成。