习题 15, § 4

令 E 为复希尔伯特空间；让$\mathscr{B} = \mathscr{L}(E)$表示E的连续自同态的代数，赋予通常的范数$\| T \| = \sup_{\| x \| \leq 1} \| T.x \|$。对于 E 中点 x, y 的每个对，令$\omega_{x,y}$表示$\mathscr{B}$上的连续线性形式$T \mapsto \langle x|T.y \rangle$，并令$\mathscr{B}_o$为Banach空间的强对偶$\mathscr{B}'$的闭子空间 $\mathscr{B}$，由$\omega_{x,y}$生成。 a) 证明线性映射与$\mathscr{B}_o$上的每个$T \in \mathscr{B}$线性形式$\omega \mapsto \langle \omega, T \rangle$相关联，是从$\mathscr{B}$到$\mathscr{B}_o$的强对偶的等距；在其他字中，$\mathscr{B}_o$是$\mathscr{B}$的前置（IV，p. 56，练习23）。 $\mathscr{B}$上的拓扑$\sigma(\mathscr{B}, \mathscr{B}_o)$称为超弱拓扑。 b) 对于 $\mathscr{L}^1(E)$ 的每元素 $T$，我们对每个操作员 $S \in \mathscr{B}$ 在 $\mathscr{B}$ 定义线性形式 $\phi_T$ 公式 $\phi_T(S) = \operatorname{Tr}(ST)$。证明$\phi_T$是连续的，并且映射$T \mapsto \phi_T$是从Banach空间$\mathscr{L}^1(E)$（练习14，e））到Banach空间$\mathscr{B}_o$的等距（首先考虑T有有限秩的情况）。 c) 令$\mathscr{B}_{oo}$为$\omega_{x,y}$生成的$\mathscr{B}_o$的向量子空间（以$\mathscr{B}_o = \overline{\mathscr{B}_{oo}}$的方式）。证明$\mathscr{B}_{oo}$是桶状的（注，$\mathscr{B}$的子集以$\sigma(\mathscr{B}, \mathscr{B}_{oo})$为界，以范数拓扑为界）。 d) 令$F_n$为$\mathscr{B}_{oo}$的子空间，即在b)中定义的等距下，秩$\leq n$的E的所有自同态中的集合的像。证明 $F_n$ 在 $\mathscr{B}_{oo}$ 中不稠密，并推断 $\mathscr{B}_{oo}$ 不是 Baire 空间。