习题 7, § 4

a) 锻炼记号。 6、证明，要使$M + N^{\circ}$闭合，$M + N^{\circ} = (M^{\circ} \cap N)$是必要且充分的。 b) 证明下列性质是等价的： $\alpha) \ \varepsilon(M, N) < 1$； $\beta) \ M + N^{\circ}$于$E$关闭； $\gamma)$ 如果$\tilde{M}$是$M$中$M \cap N^{\circ}$的正交补集，以及$(N^{\circ})^{\sim}$是$N^{\circ}$中$M \cap N^{\circ}$的正交补集，则$E$是$M^{\circ} \cap N, M \cap N^{\circ}, \tilde{M}$和$(N^{\circ})^{\sim}$的直和。此外，如果$R$和$S$分别是投影从$E$到$M$和$(N^{\circ})^{\sim}$相应的到这个分解，则

\| R | = \| S | = (1 - \varepsilon^2(\mathbf{M}, \mathbf{N}))^{1/2}。 （要看到$\alpha$蕴含$\beta$）首先观察如果$x \in \tilde{\mathbf{M}}$和$y \in (\mathbf{N}^\circ)^{\sim}$，则$|\langle x|y \rangle| \leq \varepsilon(\mathbf{M}, \mathbf{N}) \|x\|.\|y\|$；然后，用$x \in \mathbf{M}$、$y \in (\mathbf{N}^\circ)^{\sim}$和$t \in \mathbf{M} \cap \mathbf{N}^\circ$，令$u = x + y + t$为元素$u \in \mathbf{M} + \mathbf{N}^\circ$的分解，推导出$\|x\| \leq (1 - \varepsilon^2(\mathbf{M}, \mathbf{N}))^{-1/2} \|u\|, \|y\| \leq (1 - \varepsilon^2(\mathbf{M}, \mathbf{N}))^{-1/2} \|u\|$和$\|t\| \leq \|u\|$。要证明 $\gamma$ 蕴含 $\alpha$），请考虑 $v \in \tilde{\mathbf{M}}$ 的分解 $v = v_1 + v_2$，其中 $v_1$ 是 $v$ 的正交投影到 $\tilde{\mathbf{N}}$（$\mathbf{N} \cap \mathbf{M}^\circ$ 的正交补集）在$\mathbf{N}$；我们有$R.v_1 = v$，如果我们有$\varepsilon(\mathbf{M}, \mathbf{N}) = 1$，就会存在序列$(v_n) \in \mathbf{M}$，使得$\|v_n\| = 1$和$\|(v_n)_1\|$趋于0。接下来证明$R$到$\tilde{\mathbf{N}}$的限制$R_1$是双射从$\tilde{\mathbf{N}}$到$\tilde{\mathbf{M}}$；到计算$\|R\|$，显示$\|R_1^{-1}\| \leq (1 - \varepsilon^2(\mathbf{M}, \mathbf{N}))^{1/2}$。 c) 从b) 推导出，如果$\mathbf{M} + \mathbf{N}^\circ$ 是封闭的，那么$\mathbf{M}^\circ + \mathbf{N}$ 也是封闭的。