习题 6, § 1

标签 083V，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 083V]。

实变函数, I, 36

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设 $(r_n)$ 为 $[0, 1]$ 中的有理数所形成的序列，排列在某个阶中。证明函数 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n}(x - r_n)^{1/3}$ 在 $\mathbf{R}$ 的每个点处连续且可微，并且在每个点 $r_n$ 处具有无穷导数。（要看到 $f$ 在点 $x$ 与 $r_n$ 可微，请根据级数与一般项 $2^{-n}(x - r_n)^{-2/3}$ 是否具有和 $+\infty$ 或收敛来区分两种情况；在第二种情况下，注对于所有 $x \neq 0$ 和所有 $y \neq x$ ，有一个

0 \leq (y^{1/3} - x^{1/3})/(y - x) \leq 4/3x^{2/3}.

解答

尚未写出解答。

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无。