习题 13, § 3

a) 令$f$为$\mathbf{R}$上的二次可微实数函数，使得$(f(x))^2 \leq a$和$(f'(x))^2 + (f''(x))^2 \leq b$在$\mathbf{R}$上；表明

在$\mathbf{R}$上（通过矛盾论证，注意如果函数$f^2 + {f'}^2$在点$x_0$处取值$c > \max(a, b)$，则存在两个点$x_1, x_2$使得$x_1 < x_0 < x_2$和$x_1$并且 $x_2$ 函数 $f'$ 取值足够小，使得 $f^2 + {f'}^2$ 取值 $< c$；然后考虑 $[x_1, x_2]$ 的点，其中 $f^2 + {f'}^2$ 在此区间达到其最大值）。

b) 设$f$是$\mathbf{R}$上可微的实函数$n$倍，并且$(f(x))^2 \leq a$和$(f^{(n-1)}(x))^2 + (f^{(n)}(x))^2 \leq b$在$\mathbf{R}$上；表明那么

$\mathbf{R}$ $1 \leq k \leq n$。 （通过归纳对$n$论证；注，通过练习12，$(f'(x))^2$在$\mathbf{R}$上的上等$c$是有限的；通过简化为一个矛盾来证明必然有$c \leq \max(a, b)$：假设$c > \max(a, b)$ 选择常数$\lambda$和$\mu$，因此对于函数$g = \lambda f + \mu$，一个有$|g(x)| \leq 1,\ |g'(x)| \leq 1$，而一个不能对于所有$x$都有$(g(x))^2 + (g'(x))^2 \leq 1$。）