习题 17, § 3

a) 令$f$为向量函数，在开区间$I \subset \mathbf{R}$上具有所有阶的导数。假设在$I$上有$\|f^{(n)}(x)\| \leq a n! r^n$，其中$a$和$r$是两个数$> 0$并且独立于$x$和$n$；表明在每个点$x_0$，“泰勒级数”与一般项$(1/n!) f^{(n)}(x_0) (x - x_0)^n$收敛，并且在$x_0$的某些邻域上具有和$f(x)$。

b) 相反，如果$f$在点$x_0$处的泰勒级数收敛于$x_0$的邻域，则存在两个数$a$和$r$（取决于$x_0$），使得每整数 $n > 0$ $\|f^{(n)}(x_0)\| \leq a . n! r^n$。

c) 从a) 中推导出来并进行练习。 16 b) 如果在开区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上，实数函数 $f$ 无限可微，且存在独立于 $n$ 的整数 $p$，使得对于所有 $n$，函数 $f^{(n)}$在$I$的超过$p$不同的点处不消失，则每个点$x_0 \in I$的邻域上$f$的泰勒级数是收敛的，并且在每个和$f(x)$ 点邻域 $x_0$。