Bourbaki

习题 6, § 3

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实变函数, I, 40

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 f\mathbf{f} 为向量函数，定义在开区间 I⊂RI \subset \mathbf{R} 上，将值取入范数空间 E 中。

放入Δf(x;h1)=f(x+h1)−f(x)\Delta \mathbf{f}(x; h_1) = \mathbf{f}(x + h_1) - \mathbf{f}(x)，然后归纳出定义

Δpf(x;h1,h2,…,hp−1,hp)=Δp−1f(x+hp;h1,…,hp−1)−Δp−1f(x;h1,…,hp−1); \Delta^p \mathbf{f}(x; h_1, h_2, \ldots, h_{p-1}, h_p) = \Delta^{p-1} \mathbf{f}(x + h_p; h_1, \ldots, h_{p-1}) - \Delta^{p-1} \mathbf{f}(x; h_1, \ldots, h_{p-1});

当hih_i足够小时，为每个x∈Ix \in I定义这些函数。

a) 如果函数 ff 在点* xx 处可微分 nn 倍（因此在 xx 的邻域上可微分 n−1n - 1 倍），则有

lim⁡(h1,…,hn)→(0,…,0)Δnf(x;h1,…,hn)h1h2…hn=f(n)(x) \lim_{(h_1, \ldots, h_n) \to (0, \ldots, 0)} \frac{\Delta^n f(x; h_1, \ldots, h_n)}{h_1 h_2 \ldots h_n} = f^{(n)}(x)
（通过归纳对nn进行争论，使用平均值值定理）。

b) 如果 ff 是 nn 次可微分 在区间 II 上，则有

∥Δnf(x;h1,…,hn)−f(n)(x0)h1h2…hn∥≤∣h1h2…hn∣sup⁡∥f(n)(x+t1h1+⋯+tnhn)−f(n)(x0)∥ \| \Delta^n f(x; h_1, \ldots, h_n) - f^{(n)}(x_0) h_1 h_2 \ldots h_n \| \\ \leq |h_1 h_2 \ldots h_n| \sup \| f^{(n)}(x + t_1 h_1 + \cdots + t_n h_n) - f^{(n)}(x_0) \|
上限值被接管(ti)(t_i)的集合，使得0≤ti≤10 \leq t_i \leq 1代表1≤i≤n1 \leq i \leq n（同样的方法）。

c) 如果 ff 是实数函数，且在 II 上可微分 nn 倍，则有

Δnf(x;h1,h2,…,hn)=h1h2…hnf(n)(x+θ1h1+⋯+θnhn) \Delta^n f(x; h_1, h_2, \ldots, h_n) = h_1 h_2 \ldots h_n f^{(n)}(x + \theta_1 h_1 + \cdots + \theta_n h_n)
数 θi\theta_i 属于至 [0,1][0, 1]（与方法相同，使用 I、p. 22，推论）。

解答

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