习题 22, § 4

设$f_1, \ldots, f_n$是紧区间$I \subset \mathbf{R}$上的连续凸函数；假设对于所有$x \in I$，都有一个$\sup(f_j(x)) \geq 0$。证明存在$n$ 数 $\alpha_j \geq 0$，使得$\sum_{j=1}^n \alpha_j = 1$ 和$\sum_{j=1}^n \alpha_j f_j(x) \geq 0$ 在$I$ 上。 （首先处理$n = 2$的情况，考虑点$x_0$，其中上包络$\sup(f_1, f_2)$达到最小值，当$x_0$位于$I$确定$\alpha_1$内部，使得$\alpha_1 f_1 + (1 - \alpha_1) f_2$的左导数为零 $x_0$。通过$n$上的归纳传递到一般情况；使用归纳假设将$f_1, \ldots, f_{n-1}$的限制传递到$f_n(x) \leq 0$的紧凑区间。）