习题 24, § 4

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实变函数, I, 48

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令 $P(x)$ 为次数 $n$ 的实数系数多项式，其所有根均为实数且包含在区间 $[-1, 1]$ 中。令 $k$ 为整数，使得 $1 \leq k \leq n$ 。证明有理数函数

f(x) = x + \frac{P^{(k-1)}(x)}{P^{(k)}(x)}

在定义它的

\mathbf{R}

的每个区间上都是递增：如果

c_1 < c_2 < \cdots < c_r

是它的极点（包含在

[-1, 1]

中），那么

f

对于

x < c_1

来说是凸的，对于

x > c_r

来说是凹的。推论当

a

穿过最大的区间包含零的

[-1, 1]

长度时，

(x-a)P(x)

的

k^{th}

导数在

a = 1

或

a = -1

时达到最大的值。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。