习题 1, § 1

令$(f_\alpha)$为实数函数的集合，在区间$I \subset \mathbf{R}$上定义，每个在$I$上接纳一个严格原语，并为关系$\leq$形成有向集合。设$f$为家庭$(f_\alpha)$的上层信封；假设$f$承认$I$上的严格原语。证明如果$g_\alpha$（或$g$）是$f_\alpha$（或$f$）的原语，并在点$x_0 \in I$处消失，则$g$是族$(g_\alpha)$在交上的上层信封$I \cap [x_0, +\infty[$ 及其下层信封位于交 $I \cap ]-\infty, x_0]$。 （限制于这些间隔中的第一个，证明如果$u$是$I \cap [x_0, +\infty[$上$(g_\alpha)$的上包络线，那么对于$h > 0$，一个人有$u(x+h) - u(x) \leq g(x+h) - g(x)$；然后证明，对于所有$\alpha$，一个人有$u(x+h) - u(x) \geq g_\alpha(x+h) - g_\alpha(x)$，并且从最后一个开始有结论不等式 $\liminf_{h \to 0^+} (u(x+h) - u(x))/h \geq f(x)$；由此推导出命题。）

给出例的递增序列 $(f_n)$ 的连续函数在区间 $I$ 上，它们是一致有界的，但其上包络不允许 $I$ 上的严格原语。