Bourbaki

习题 12, § 1

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实变函数, II, 81

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

有人说区间 [0, 1][0,\ 1] 中实数的序列 (xn)(x_n) 在该区间*均匀分布*，如果

lim⁡n→∞νn(α,β)n=β−α \lim_{n \to \infty} \frac{\nu_n(\alpha, \beta)}{n} = \beta - \alpha
对于数α, β\alpha,\ \beta中的每个对，使得0≤α≤β≤10 \leq \alpha \leq \beta \leq 1，其中νn(α,β)\nu_n(\alpha, \beta)表示指标ii中的数，使得1≤i≤n1 \leq i \leq n和α≤xi≤β\alpha \leq x_i \leq \beta。

证明如果序列 (xn)(x_n) 是均匀分布的，并且如果 f\mathbf{f} 是[0, 1][0,\ 1] 上的调节函数，则有

lim⁡n→∞1n∑i=1nf(xi)=∫01f(t) dt \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{f}(x_i) = \int_0^1 \mathbf{f}(t)\,dt
（约化对于f\mathbf{f}是步骤函数的情况）。 逆命题。

证明，要使序列 (xn)(x_n) 均匀分布，关系 (2) 对于每个实数函数 ff 属于到实数连续函数的空间中的稠密集合就足够了[0, 1][0,\ 1] 具有拓扑一致收敛性。

解答

尚未写出解答。

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无。

引用了

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