习题 22, § 1

设 $f$ 是区间 $[0, 1]$ 上的连续递增实数函数和 $\geq 0$ a) 证明$[0, 1]$上存在凸函数$g \geq 0$，使得$g \leq f$和$\int_0^1 g(t)\,dt \geq \frac{1}{2} \int_0^1 f(t)\,dt$（cf.I，p. 48，执行23）。 b) 证明在 $[0, 1]$ 上存在凸函数 $h$ 使得 $h \geq f$ 并且

（对于每个$a$，使得$0 < a \leq 1$，令$f_a$等于函数，对于$0 \leq t \leq a$等于$f$，对于$a \leq t \leq 1$等于$f(a)$；令$A$等于$a \in ]0, 1]$的集合其中$[0, 1]$上存在凸函数$h_a$，使得$h_a \geq f_a$和$\int_0^1 h_a(t)\,dt \leq 2 \int_0^1 f_a(t)\,dt$。 使用 exerc 再次证明 $A$ 的最小上界 $b$ 属于到 $A$。 I、p. 45 中的 1 个。 然后用反证法证明f_b = f。 为此，约化到证明得到以下结果：如果$\varphi$是连续的并且递增在$[0, 1]$上，不是恒定的，并且使得$\varphi(0) = 0$。那么有点 $c \in ]0, 1[$ 使得 $\varphi(c) > 0$ 并且使得线性函数 $\psi$ 使得 $\psi(c) = \varphi(c)$ 并且 满足关系 $\psi(t) \geq \varphi(t)$ $\max(0, 2c - 1) \leq t \leq c.$