习题 5, § 1

设 $f$ 为向量函数，定义在紧致区间 $I = [a, b] \subset \mathbf{R}$ 上，将其值置于完全范数空间 $E$ 中；有人说，如果存在数$m > 0$，则$f$在$I$上*有界变化*，这样，对于$I$的点的每个有限严格递增的序列$(x_i)_{0 \leq i \leq n}$，使得$x_0 = a$和$x_n = b$，一个有

a) 证明$f(I)$在$E$中相对紧凑（反证法）。

b) 证明$f$在$I$上受到调节（证明当$x$趋于点$x_0 \in I$时，剩余$> x_0$、函数$f$不能有两个不同的簇点，并使用$a$）。