习题 8, § 1

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实变函数, II, 80

It is set in small type as supplementary.

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证明 $[-1, +1]$ 上存在连续的函数，在该区间的每点处允许有一个有限导数，该导数在点 $x$ 处等于 $\sin \left( \frac{1}{\sin 1/x} \right)$ ，不同于 $1/n\pi$ （ $n$ 整数 $\neq 0$ ）且不同于0。（在 $x = 1/n\pi$ 的邻域上，对变量 $x = \frac{1}{n\pi + \operatorname{Arc}\sin u}$ 进行变换并使用exerc.7；通过相同的变量变换，证明存在一个独立于 $n$ 的常量 $a > 0$ ，使得

\left| \int_{2/(2n-1)\pi}^{2/(2n+1)\pi} \sin \left( \frac{1}{\sin \frac{1}{x}} \right) dx \right| \leq \frac{a}{n^3};

并推断如果有人把

g(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_x^1 \sin \left( \frac{1}{\sin \frac{1}{t}} \right) dt,

那么 $g$ 在点 $x = 0$ 处的导数等于 0。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。