习题 4, § 3

令$I$为域$\mathbf{R}$（或域$\mathbf{C}$）中点$\alpha_0$的$\mathbf{R}$、$A$邻域的区间，$f$为连续将$I \times A$的映射转化为空间$E$超过$\mathbf{R}$，使得$f'_\alpha(x, \alpha)$存在并且在$I \times A$上连续。令$a(\alpha)$、$b(\alpha)$为$A$上定义的两个连续的函数，值在$I$中，这样在$A$上就有相同的$f(a(\alpha), \alpha) = f(b(\alpha), \alpha) = 0$。证明函数 $g(\alpha) = \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} f(t, \alpha)\,dt$ 在点 $\alpha_0$ 处承认等于 $\int_{a(\alpha_0)}^{b(\alpha_0)} f'_\alpha(t, \alpha_0)\,dt$ 的导数，即使 $a$ 和 $b$ 在点 $\alpha_0$ 不可微（令 $M$ 为上界） $\|f'_\alpha(x, \alpha)\|$ $(b(\alpha_0), \alpha_0)$ 的紧凑邻域；注、应用 Bolzano 的定理到 $b(\alpha)$，对于每个 $x$ 属于到端点为 $b(\alpha_0)$ 的区间$b(\alpha)$，对于$\alpha$足够接近$\alpha_0$，有$\|f(x, \alpha)\| \leq M |\alpha - \alpha_0|$）。