习题 6, § 3

令$I = [a, b]$、$A = [c, d]$为$\mathbf{R}$上的两个紧区间；让$f$是在$I \times A$上定义的函数，其中值在空间$E$超过$\mathbf{R}$，这样对于所有$\alpha \in A$，映射$t \mapsto f(t, \alpha)$都在$I$上调节， $f$以$I \times A$为界，并且$I \times A$中$f$的不连续性点的集合$D$在$x = x_0$和每条线的点的有限数中满足$\alpha = \alpha_0$（$x_0 \in I, \alpha_0 \in A$）。

a) 证明函数$g(\alpha) = \int_a^b f(t, \alpha)\,dt$在$A$上连续（给定$\alpha_0 \in A$和$\varepsilon > 0$，证明$\alpha_0$有邻域$V$以及包含在$J_k$的有限区间数） $I$与长度$\leq \varepsilon$的和，这样，如果$J$表示$\bigcup_k J_k$在$I$中的补集，则$f$在$J \times V$上连续）。

b) 表明积分 (II, p. 77, 公式 (15)) 的交换阶的公式仍然有效（方法与 $a$) 中的相同）。