习题 3, § 1

a) 显示 $\alpha \geq 1$ 和 $x \geq 0$ 为 $(1 + x)^\alpha \geq 1 + \alpha x$，$0 \leq \alpha \leq 1$ 和 $x \geq 0$ 为 $(1 + x)^\alpha \leq 1 + \alpha x$。

b) 证明$(1 - x)^\alpha \leq \frac{1}{1 + \alpha x}$代表$0 \leq x \leq 1$和$\alpha \geq 0$。

c) 对于$0 \leq \alpha \leq 1$，表明对于$x \geq 0$和$y \geq 0$，对于数$> 0$中的每对，其中$a^\alpha b^{1-\alpha} = \alpha(1 - \alpha)^{1-\alpha}$都有$x^\alpha y^{1-\alpha} \leq \alpha x + b y$。

d) 从 c) 推导出，如果 $f, g$ 是间隔 $I$ 上的两个调节的 $\geq 0$ 函数，使得积分 $\int_I f(t)\,dt$ 和 $\int_I g(t)\,dt$ 收敛，则积分 $\int_I (f(t))^\alpha (g(t))^{1-\alpha}\,dt$ 收敛，并且

由此推导出 Hölder 不等式 （当 $\alpha = \frac{1}{2}$ 时，称为“Cauchy-Buniakowski-Schwarz 不等式”）。