Bourbaki

习题 31, § 1

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实变函数, III, 123

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

如果 lm,nl_{m,n} 是 sin⁡mxcos⁡nx\sin^m x \cos^n x 的原语（mm 和 nn 是任意实数），则证明

Im+2,n=−sin⁡m+1xcos⁡n+1xm+n+2+m+1m+n+2Im,n I_{m+2,n} = -\frac{\sin^{m+1} x \cos^{n+1} x}{m + n + 2} + \frac{m + 1}{m + n + 2} I_{m,n}
是 sin⁡m+2xcos⁡nx\sin^{m+2} x \cos^n x if m+n+2≠0m + n + 2 \neq 0 的原语。

借助公式恢复III、p. 100的公式(29)并证明公式

∫0π/2sin⁡2n+1x dx=2.4.6…2n1.3.5…(2n+1)(n an integer ⩾0). \int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1} x \, dx = \frac{2.4.6 \ldots 2n}{1.3.5 \ldots (2n+1)} \quad (n \text{ an integer } \geqslant 0).

解答

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