Bourbaki

习题 39, § 1

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实变函数, III, 124

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令mm为[0,+∞[[0, +\infty[上的凸函数，使得m(0)=0m(0) = 0，以及pp数，使得−1<p<+∞-1 < p < +\infty。证明积分 ∫0+∞xpexp⁡(−m′(x))dx\int_0^{+\infty} x^p \exp(-m'(x)) dx 是收敛的，整的 ∫0+∞xpexp⁡(−m(x)/x)dx\int_0^{+\infty} x^p \exp(-m(x)/x) dx 也是收敛的，并且

∫0+∞xpexp⁡(−m(x)/x)dx≤ep+1∫0+∞xpexp⁡(−m′(x))dx. \int_0^{+\infty} x^p \exp(-m(x)/x) dx \leq e^{p+1} \int_0^{+\infty} x^p \exp(-m'(x)) dx.

（对于k>1k > 1和A>0A > 0注即m(kx)≥m(x)+(k−1)x mr′(x)m(kx) \geq m(x) + (k - 1)x\ m'_r(x)，并推导出不等式

k−p−1∫0kAxpexp⁡(−m(x)/x) dx≤∫0Axpexp⁡(−m(x)kx−k−1k mr′(x)) dx. k^{-p-1} \int_0^{kA} x^p \exp(-m(x)/x)\ dx \leq \int_0^A x^p \exp\left(-\frac{m(x)}{kx} - \frac{k-1}{k}\ m'_r(x)\right)\ dx.
借助 Hölder 的不等式估计第二个积分（III，p. 115，练习 3），然后让 AA 趋向于 +∞+\infty，kk 趋于 1。）

解答

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