习题 13, § 1

a) 令I = $[t_0, t_0 + c]$，并令$\omega$为连续实数函数、$\geq 0$，定义于$I \times \mathbf{R}$。令 S 为一个在完全规范的空间 E 中具有中心 $x_0$ 的球，并令 f 为从 $I \times S$ 到 E 的连续映射，使得对于任何 $t \in I$、$x_1 \in S$ 和 $x_2 \in S$ 都有 $\|f(t, x_1) - f(t, x_2)\| \leq \omega(t, \|x_1 - x_2\|)$。令u和v为I上定义的$x' = f(t, x)$的两个积分，其中值在S中，使得$u(t_0) = x_1,\ v(t_0) = x_2$；令 w 为 $z' = \omega(t, z)$ 相应的到点 $(t_0, \|x_1 - x_2\|)$ 的*极大*整的（练习 10），假设在 I 上定义；表明，在I，一个人有$\|u(t) - v(t)\| \leq w(t)$。 （令 $w(t, \varepsilon)$ 为 $z' = \omega(t, z) + \varepsilon$ 相应的到点 $(t_0, \|x_1 - x_2\|)$ 的最大积分，其中 $\varepsilon > 0$ 足够小。证明对于每个 $\varepsilon > 0$，$\|u(t) - v(t)\| \leq w(t, \varepsilon)$，通过矛盾论证。）

b) 在a) 假设的叙述中，替换 I 按区间$I' = ]t_0 - c, t_0]$。证明如果 w 是 $z' = \omega(t, z)$ 相应的到点 $(t_0, \|x_1 - x_2\|)$ 区间上的*最小*整的，则 $\|u(t) - v(t)\| \geq w(t)$ 在 I' 上（相同方法）。