习题 14, § 1

a) 令$\omega(t, z)$为连续实数函数、$\geq 0$，为$0 < t \leq a$和$z \geq 0$定义。假设$z = 0$是为$0 < t \leq a$定义的$z' = \omega(t, z)$的唯一积分，并且$\lim_{t \to 0} z(t) = 0$和$\lim_{t \to 0} z(t)/t = 0$。令 I = $[t_0, t_0 + a[$，令 S 为一个球，中心 $x_0$ 在 E 中，f 映射从 $I \times S$ 进入 E，这样对于任何 $t \in I$、$x_1 \in S$ 和 $x_2 \in S$ 都有 $\|f(t, x_1) - f(t, x_2)\| \leq \omega(|t - t_0|, \|x_1 - x_2\|)$。证明，在左端点 $t_0$ 包含在 I 中的区间上，方程 $x' = f(t, x)$ 只能有一个解 u 使得 $u(t_0) = x_0$。 （反证法：如果 v 是 $x' = f(t, x)$ 的二阶积分，则借助练习 13 b），在左端点 $t_0$ 的区间上将 $\|u(t) - v(t)\|$ 限制在下方，从而得到矛盾。）

适用于$\omega(t, z) = k(z/t)$与$0 \leq k < 1$（cf.IV，p. 200，练习8）的情况。

b) a)的结果适用于$\omega(t, z) = z/t$；但在这种情况下，通过例表明，如果$\mathbf{u}, \mathbf{v}$是$x' = f(t, x)$的$\varepsilon$内的两个积分，等于点$t_0$处的$x_0$，则不可能将$\| \mathbf{u}(t) - \mathbf{v}(t) \|$与数绑定，仅取决于$t$（而不是函数$f$）。 （对于$f$，将$\mathbf{R}_+ \times \mathbf{R}$的连续映射取入$\mathbf{R}$，对于$t \geq \alpha$、$0 < t < \alpha$和$|x| \leq t^2/(\alpha - t)$等于$x/t$，并且对于其他点，与$x$无关$(t, x)$。）

c) 令$\theta$为区间$[0, a]$上的连续实数函数、$\geq 0$。证明如果积分 $\int_0^a \frac{\theta(t)}{t} \, dt$ 收敛，则 a) 的结果适用于 $\omega(t, z) = \frac{1 + \theta(t)}{t} z$；另一方面，如果 $\int_0^a \frac{\theta(t)}{t} \, dt$ 是无限的，则给出连续函数 $f$ 的例，使得 $\| f(t, x_1) - f(t, x_2) \| \leq \frac{1 + \theta(|t - t_0|)}{|t - t_0|} \| x_1 - x_2 \|$，但使得方程 $x' = f(t, x)$ 在点 $t_0$ 处有无数个等于 $x_0$ 的积分（方法与$b$类似））。