习题 4, § 1

a) 令$I = ]t_0 - a, t_0 + a[$为$\mathbf{R}$中的开区间，令$S$为$E$中中心$x_0$和半径$r$的开球，$f$为$I \times S$上的局部Lipschitz函数。令$(s, z) \mapsto h(s, z)$对于$0 \leq s \leq a$和$0 \leq z \leq r$定义且连续的函数$\geq 0$，使得对于每个$s \in [0, a]$映射$z \mapsto h(s, z)$都是递增；假设$\|f(t, x)\| \leq h(|t - t_0|, \|x - x_0\|)$在$I \times S$上。令 $\varphi$ 为区间 $[0, \alpha]$（与 $\alpha < a$）上的受控函数的原语，值在 $[0, r[$ 中，使得 $\varphi(0) = 0$ 和 $\varphi'(s) > h(s, \varphi(s))$ 在 $[0, \alpha]$ 上，除非在可数上集合。证明$x' = f(t, x)$的积分$u$等于点$t_0$处的$x_0$，定义在$]t_0 - \alpha, t_0 + \alpha[$上，并且$\|u(t) - x_0\| \leq \varphi(|t - t_0|)$在此区间上定义。

b) 从a)推导出，如果在$I \times E$上定义了$f$，并且在$[0, +\infty[$上定义了连续的函数$h$、递增和$> 0$，使得$\int_0^{+\infty} dz/h(z) = +\infty$和$\|f(t, x)\| \leq h(\|x\|)$，则$x' = f(t, x)$ 是在所有 $I$ 上定义的。