习题 5, § 1

令$E$为实数的序列$x = (x_n)$的完整范数空间，使得$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$由$\|x\| = \sup_n |x_n|$范数。对于每个整数$n \geq 0$，令$e_n$为序列，其中每个项为零，除了项和指标$n$，其等于1； 空间$E$是$e_n$和$e_{n+1}$生成的维数2的子空间$V_n$的直和，以及$e_k$生成的闭子空间$W_n$ 指标与$n$ 和$n+1$ 不同。令$f_n$为$E$上的连续Lipschitz函数，$E$中的值，在每个等价类模$W_n$上恒定，等于连接$e_n$到$e_{n+1}$的直线上的$e_{n+1} - e_n$，并且在 $V_n$ 和球 $\|x\| \leq \frac{1}{4}$ 的交上等于 0。另一方面，对于每个整数$n > 0$，令$\varphi_n$是一个在区间$\left[ \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right]$上定义且连续的实数函数，在该区间的端点处等于0，并且使得$\int_{1/(n+1)}^{1/n} \varphi_n(t) dt = 1$。设$I$为$\mathbf{R}$中的区间$[0, 1]$；考虑$I \times E$函数$f$和$E$中的值，定义如下：每$x \in E$有$f(0, x) = 0$；对于$\frac{1}{n+1} \leq t \leq \frac{1}{n}$，设$f(t, x) = \varphi_n(t)f_n(x)$。证明 $f$ 在 $I \times E$ 上是连续且局部 Lipschitz，但存在方程 $x' = f(t, x)$ 的积分 $u$，在 $[0, 1]$ 上定义并有界，对于 $t = 1/n$ 等于 $e_n$，因此没有极限与 $t$趋于0。