习题 7, § 2

a) 令$t \mapsto A(t)$为映射，从区间$J \subset \mathbf{R}$到$\mathscr{L}(E)$，这样，对于每个$x \in E$，$J$到$E$的映射$t \mapsto A(t).x$是连续的。证明 $t \mapsto \|A(t)\|$ 在每个紧凑区间 $K \subset J$ 上都是*有界*（使用 Gen.Top.、IX、p. 194、第 2 个）。根据这些条件表明，对于每个点$(t_0, x_0) \in J \times E$，方程$d\mathbf{x}/dt = A(t).\mathbf{x} + \mathbf{b}(t)$在$J$上定义了一个且仅有一个解，并且等于点$t_0$上的$\mathbf{x}_0$。此外，如果用$\mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0)$表示这个解，则映射$\mathbf{x}_0 \mapsto \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0)$是$E$自身的双射双连续线性映射$C(t, t_0)$，满足关系 (6) (IV， p. 179）和（7）（IV，p. 181）；此外，映射$(s, t) \mapsto C(s, t)$从$J \times J$连续到$\mathscr{L}(E)$。

b) 取实数的序列$\mathbf{x} = (x_n)_{n \in \mathbf{N}}$中的$E$空间，使得$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，赋予范数$\|\mathbf{x}\| = \sup |x_n|$，其中$E$完整。对于每个 $t \in J = [0, 1]$，令 $A(t)$ 为 $E$ 自身的线性映射，使得

证明 $A(t)$ 满足 a 的条件，但 $J$ 到 $\mathscr{L}(E)$ 的映射 $t \mapsto A(t)$ 在点 $t = 0$ 处不连续，并且方程的解$C(t, t_0)$ $d\mathbf{x}/dt = A(t).\mathbf{x}$使得$J$到$\mathscr{L}(E)$的映射$t \mapsto C(t, t_0)$在点$t = 0$处不可微分。