习题 9, § 2

令 $y_k$ ($1 \leq k \leq n$) 为 $n$ 实数函数，定义在区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上，并具有连续的 $(n-1)^{th}$ 导数。

a) 证明如果 $n$ 函数 $y_k$ 是线性相关的，则矩阵 $(y_k^{(h)}(t))_{0 \leq h \leq n-1 \atop 1 \leq k \leq n}$ 在每个点 $t \in I$ 处都有秩 $< n$。

b) 相反，如果对于每个 $t \in I$ 矩阵 $(y_k^{(h)}(t))_{0 \leq h \leq n-1 \atop 1 \leq k \leq n}$ 有秩 $< n$，则证明在每个非空开区间 $J \subset I$ 中存在非空开区间 $U \subset J$，使得限制 $y_k$ 到 $U$ 是线性相关的（如果 $p$ 是数 $q < n$ 的最小的，使得函数 $y_k$ 的任何 $q$ 的 Wronskians 都与零相同） $J$，考虑点$a \in J$，其中函数$y_k$的$p-1$的Wronskian不是零，并证明函数$y_k$的$p$是线性方程的积分阶$p-1$于$a$的邻域）。

c) 将$y_1(t) = t^2$替换为$t \in \mathbf{R}$，将$y_2(t) = t^2$替换为$t \geq 0$，将$y_2(t) = -t^2$替换为$t < 0$；表明$y_1$和$y_2$对$\mathbf{R}$和$y_1 y_2' - y_2 y_1' = 0$有连续导数，但$y_1$和$y_2$与$\mathbf{R}$不是线性相关的。