习题 4, 附录 0

令$\mathscr{K}$为Hardy域，使得对于每个不等于常数的函数$f \in \mathscr{K}$，以及相对于$l_{m-1}(x)$的阶0，存在一个常数$k$和一个有理整数$r$，使得$f(x) \sim k(l_m(x))^r$。

a) 令$z$为$\mathscr{K}$中的任意函数，与$+\infty$的邻域上的零不同。证明 Hardy 域 $\mathscr{K}(\log |z|)$ 中的每个函数 $g$ 不等价于常数，而阶 0 相对于 $l_m(x)$，等价于形式 $k(l_{m+1}(x))^r$ 的函数（$k$ 常数， $r$ 有理整数）。 （首先考虑$g$是$\log |z|$中次数$p$的多项式，系数在$\mathscr{K}$中，并用归纳对$p$进行论证，使用exerc.3；如果$g$是有理数函数 $\log |z|$，系数为 $\mathscr{K}$，用归纳对分子的次数进行论证，使用 exerc 3。）

b) 证明$\mathscr{K}(l_{m+1}(x))$中的每个函数等价于形式$f(x)(l_{m+1}(x))^r$的函数，其中$f \in \mathscr{K}$和$r$是有理数整数。

c) 令$z$为$\mathscr{K}$中的任意函数。证明阶 0 的 Hardy 域 $\mathscr{K}(e^z)$ 相对于 $l_m(x)$ 的每一个函数 $g$ 等价于一个常数。 （首先考虑$g = u^q P(u)$的情况，其中$u = e^z$、$q$是有理数整数，$P(u)$是$u$、次数$p$的多项式，系数在$\mathscr{K}$；然后通过归纳在$p$上，使用$a$）并锻炼。 3 使用 exerc 从那里转到一般情况。 3.)

d) 扩展 a)到域$\mathscr{K}(u_1, u_2, \ldots, u_s)$的结果，其中$u_k$是形式$e^{z_k}$或$\log |z_k|$，$z_k$与$\mathscr{K}$中的函数不相同零对$+\infty$的邻域（由归纳对$s$争论）。