习题 8, 附录 0

a) 令$(f_n)$为递增连续函数属于到$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$的序列，并且对于每个$n$有$f_n \ll f_{n+1}$。证明存在连续的函数$f$，递增、属于到$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$，并且对于每个$n$都有$f \gg f_n$（对于$f_n \leq f_{n+1}$和定义$f$的情况，约化使得$f_n(x) \leq f(x) \leq f_{n+1}(x)$ 为 $n \leq x \leq n+1$）。

b) 令$(f_n)$为递增连续函数属于到$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$的序列，并且对于每个$n$有$1 \ll f_{n+1} \ll f_n$。证明存在连续的函数$f$，递增，属于到$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$，并且对于每个$n$有$1 \ll f \ll f_n$（约化到$f_{n+1} \leq f_n$的情况）并证明可以定义实数的递增序列$(x_n)$和连续的递增函数$f$，使得$f_{n+1}(x) \leq f(x) \leq f_n(x)$代表$x_n \leq x \leq x_{n+1}$）。

c) 令$(f_n), (g_n)$为连续递增函数属于到$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$的两个序列，使得$f_n \ll f_{n+1}, g_m \gg g_{m+1}$和$f_n \ll g_m$对于所有$m$和$n$；证明存在函数$h$，连续，递增，属于到$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$，使得$f_n \ll h \ll g_m$对于所有$m$和$n$（类似于方法）。

特别是，证明在 $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ 中存在连续递减函数 $f$，使得*无*对数准则允许确定积分 $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ 收敛还是无穷大（“Du Bois-Reymond*的*定理*”）。