Bourbaki

习题 7, § 4

标签 08GJ，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 08GJ]。

实变函数, V, 262

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令(un)(u_n)是级数与项>0> 0的收敛。

a) 表明

lim⁡n→∞u1+2u2+⋯+nunn=0. \lim_{n \to \infty} \frac{u_1 + 2u_2 + \cdots + nu_n}{n} = 0.

b) 表明

∑n=1∞u1+2u2+⋯+nunn(n+1)=∑n=1∞un \sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_1 + 2u_2 + \cdots + nu_n}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} u_n
（写1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}）。

c) 从 a) 和 b) 推出

lim⁡n→∞n(u1u2…un)1/n=0 \lim_{n \to \infty} n(u_1 u_2 \ldots u_n)^{1/n} = 0
还有那个
∑n=1∞(n!u1u2…un)1/nn+1<∑n=1∞un \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n! u_1 u_2 \ldots u_n)^{1/n}}{n+1} < \sum_{n=1}^{\infty} u_n
（应用III、p. 93中的不等式（8））。

解答

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