习题 8, § 4

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实变函数, V, 262

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

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a) 设 $(z_n)$ 为序列/复数。证明如果级数与一般项 $z_n, z_n^2, \ldots, z_n^{q-1}, |z_n|^q$ 收敛，则无限乘积与一般因子 $1 + z_n$ 收敛。

b) 如果 $z_n$ 是实数，且级数与一般项 $z_n$ 收敛，则无限乘积与一般因子 $1 + z_n$ 收敛，如果级数与一般项 $z_n^2$ 收敛，且有

\prod_{n=1}^{\infty} (1 + z_n) = 0 \quad \text{if} \quad \sum_{n=1}^{\infty} z_n^2 = +\infty.

c) 对于每整数 $p \geqslant 2$ 投入

k_p = [\log \log p], \quad h_p = \sum_{j=1}^{p-1} k_j, \quad \omega_p = \frac{2\pi}{k_p}.

复数的定义序列 $(z_n)$ 的计算方式如下：对于 $n = h_p + m$ 、 $0 \leq m \leq k_p - 1$ ，放入 $z_n = e^{m i \omega_p} / \log p$ 。证明对于*每个* 整数 $q > 0$ 级数与一般项 $z_n^q$ 收敛，但乘积与一般因子 $1 + z_n$ 不收敛。

解答

尚未写出解答。

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