习题 11, § 1

令 E 为完全格序空间，$(x_\iota)_{\iota \in I}$ E 的元素族。对于 I 的每个有限子集 H，集合 $s_H = \sum_{\iota \in H} x_\iota$；如果映射$H \mapsto s_H$对于这个阶结构有极限，那么对于E的阶结构，$(x_\iota)_{\iota \in I}$据说是可求和的，相对于有向有序的集合$\mathfrak{F}(I)$ 有限子集共I；这个极限 s 被称为$(x_\iota)_{\iota \in I}$族的和，并表示为$\sum_{\iota \in I} x_\iota$。

a) 对于一个族$(x_\iota)_{\iota \in I}$是可求和的，有充分必要：对于I的每一个有限子集 H，$|s_K|$的集合，其中K超过不与H相交的I的有限子集集合，有一个上界E 中的 $r_H$； 2° $\inf_H r_H = 0$，因为 H 超过 $\mathfrak{F}(I)$（利用 Exer. 9 a)）。

b) 推广到可和族，对于 E 的阶结构，交换拓扑群中可和族的性质（GT、III, §5、命题 2、3 和 Th.2）。

c) 设$(x_\iota)_{\iota \in I}$是E的元素$\geq 0$的族；为了使族可求和，有限部分和 $s_H$ 的集合在上面有界是必要且充分的（利用 Exer. 9 b））。如果$(x_\iota)_{\iota \in I}$是可求和的，并且如果$(y_\iota)_{\iota \in I}$是元素的族，使得$0 \leq y_\iota \leq x_\iota$对于所有$\iota$，则表明族$(y_\iota)$是可求和的并且$\sum_{\iota \in I} y_\iota \leq \sum_{\iota \in I} x_\iota$，其中等式仅在$x_\iota = y_\iota$对于所有$\iota \in I$成立时成立。

d) 设$(x_\iota)$为E的元素族；证明如果族 $(|x_\iota|)$ 对于阶结构可求和，那么族 $(x_\iota)$ 也可求和。