习题 12, § 1

令 E 为完全格序空间。证明 E 中存在元素 $> 0$ 的族 $(u_\iota)$，使得对于不同指标 $\iota, \kappa$ 的每一个对，$u_\iota$ 和 $u_\kappa$ 都是外来的，并且对于 E 中的每个 $x > 0$ 都存在至少一个指标 $\iota$使得$\inf(x, u_\iota) > 0$（使用Zorn的引理）。由此推断，对于每个 $x \geq 0$，E 的元素 $\geq 0$ 都存在一个且仅有一个族 $(x_\iota)$，使得对于每个$\iota$，$x_\iota$ 属于到$u_\iota$ 生成的带$B_\iota$，并且使得E 的阶结构的$x = \sum_\iota x_\iota$（取 $x_\iota$ 为 $B_\iota$ 频带中$x$ 的分量）。相反，E 的元素$\geqslant 0$的每个族$(x_\iota)$在上面有界，使得所有$\iota$的$x_\iota \in B_\iota$在E中可求和（Exer.11）。