习题 13, § 1

a) 令 E 为完全格序的空间。如果$u \neq 0$是E的任意元素，证明$x \in E$的集合使得存在整数$n$，其中$|x| \leq n|u|$是线性的子空间$C_u$是完全晶格有序和共晶格E 的子空间（例 3）。对于每个$x \in C_u$，1 表示标量$\lambda > 0$ 的下确界$\|x\|$，使得 $|x| \leq \lambda|u|$；表明$\|x\|$是$C_u$上的范数（利用E是阿基米德（Exer.5）这一事实），$C_u$配备了这个范数，是完整的，并且$\|x\| = \sup(\|x^+\|, \|x^-\|)$。

b) 设$\mathscr{J}$为空间$C_u$带内$u$分量的集合；证明 $\mathscr{J}$ 是元素 $c$ $C_u$ 的集合，使得 $0 \leq c \leq u$ 和 $\inf(c, u - c) = 0$（使用 Riesz 的定理）。证明 $\mathscr{J}$ 在范数空间 $C_u$ 中是封闭的，并且，对于由 $C_u$ 引发的序关系，$\mathscr{J}$ 是一个完整的布尔值代数 (S, III, §1, Exers. 11 和 17;¹ 它就足够了证明如果$(c_\iota)$是元素和$\mathscr{J}$的族，那么$\sup_\iota c_\iota$属于到$\mathscr{J}$。

c) 令$x$为$C_u$中的任意元素；对于每个$\lambda \in \mathbf{R}$，令$c(\lambda)$为由$(\lambda u - x)^+$生成的$C_u$带中$u$的分量。证明如果$\lambda \leq \mu$则$c(\lambda) \leq c(\mu)$； $c(\lambda) = 0$对应$\lambda < -\|x\|$，$c(\lambda) = u$对应$\lambda > \|x\|$。证明如果 $c \in \mathscr{J}$ 与 $c \leq c(\lambda)$ 相同，则 $c$ 生成的能带中 $x$ 的分量为 $\leq \lambda c$（观察到 $c(\lambda)$ 和 $(\lambda u - x)^+$ 生成的能带相同，且$\lambda u - x$ 在该能带中的分量等于$(\lambda u - x)^+$；由此推导出$x$在同一频带内的分量为$\leq \lambda c(\lambda)$）。类似地，证明如果 $c \in \mathscr{J}$ 等于 $c \leq u - c(\lambda)$，则 $c$ 生成的带中 $x$ 的分量为 $\geq \lambda c$。

d) 已知（GT，II, §4，Exer.12），在紧凑中，存在布尔值代数$\mathscr{J}$的阶结构同构$c \mapsto \theta_c$到由集合的特征函数形成的布尔值代数，完全断开空间 S，既开又闭。 Show that the relation $\sum_i \lambda_i c_i = 0$ implies that the function $\sum_i \lambda_i \theta_{c_i}$ is 0 on S (make use of the decomposition lemma); deduce from this remark and c) that the mapping $c \mapsto \theta_c$ may be extended to an isomorphism $x \mapsto \theta_x$ of the normed space $C_u$ onto the normed space $\mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ of continuous real-valued functions on S, so that $(\theta_x)^+ = \theta_{x^+}$. (With the help of c), show that for every $x \in C_u$ and every $\varepsilon > 0$, there exists an increasing sequence $(\lambda_i)_{0 \leq i \leq n}$ of real numbers such that $\lambda_i - \lambda_{i-1} \leq \varepsilon$ and $0 \leq x - \sum_{i=1}^n \lambda_{i-1} (c(\lambda_{i-1}) - c(\lambda_i)) \leq \varepsilon u .$

e) 在阶中，S是有限的，$C_u$是有限维的是充分必要的；由此，推断（在 Exer.12 的帮助下）每个有限维全晶格有序空间都同构于乘积空间 $\mathbf{R}^n$ (cf. §2，Exer.7)。

f) 证明 S 是一个极端断开的空间 (GT, I, §11, Exer.21)（利用 $\mathscr{J}$ 是一个完整的布尔值代数的事实）。 极度断开的紧致体空间称为石头空间。 Show that if X is a Stone space then, for every lower semi-continuous numerical function $f$ on X, the upper semi-continuous regularization $g$ of $f$ (GT, IV, §6, No. 2) is continuous (for every $a < g(x)$ show that $x$ cannot belong to the closure of the (open) set of $y$ such that $g(y) < a$, by observing that $f(z) \leq a$ at a point $z$ in the closure of this set). 由此推论$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$是一个完全格序的空间。 证明当 Stone 空间 X 无穷大时，上面有界的集合 $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 中的上界不一定等于其上包络线（考虑 X 中的非闭开集合）；然而，这两个函数在微不足道的集合的补数上是相等的（考虑集合与点的差值是$\geq 1/n$）。

g) 设X为石头空间；证明如果 $f$ 是有界实值函数，定义在 X 的无处稠密子集 M 的补集上且在 $X - M$ 上连续，则

1 项“布尔代数”（GT，I, §6，Exer.20）和“布尔格”（S，III, §1，Exer.17）表示相同的东西（réseau booléien）；完整性意味着每个子集都有一个上确界和一个下确界（S，III, §1，Exer.11）。

f 可以通过连续性扩展到所有 X（利用 $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 完全晶格有序的事实）。由此，推导出X（有限或非有限）上的连续数值函数$f$使得$f^{+1}(\infty)$和$f^{-1}(-\infty)$在X中不稠密，集合$\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$是完全格序的向量空间。

h) 证明E中由$u$生成的带$B_u$同构的（作为有序的空间）与$\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$的孤立子空间（例4）（将$\mathscr{Q}(X; \overline{\mathbf{R}})$的元素$f \geq 0$视为元素的上界） $\inf(f, n)$）。