习题 9, § 1

令 E 为完全格序空间。 如果 $\mathscr{F}$ 中存在集合上界（或下界、下界），则 E 上的过滤器 $\mathscr{F}$ 被称为上界（或下界、有界）。 对于上界（或下界）的过滤器$\mathscr{F}$，$\mathscr{F}$的*极限上级*（或*极限下级*），表示为$\limsup \mathscr{F}$（或$\liminf \mathscr{F}$），定义为元素$\inf_X (\sup X)$（或$\sup_X (\inf X)$） E 的，其中 X 超过 $\mathscr{F}$ 中集合的集合，其上界（或下界）。 如果$\mathscr{F}$有界，则$\liminf \mathscr{F} \leq \limsup \mathscr{F}$；对于 E 的阶结构，如果 $\limsup \mathscr{F} = \liminf \mathscr{F}$，则称 $\mathscr{F}$ 具有 极限，或 收敛；这两个元素的公共的值则表示为$\lim \mathscr{F}$，并且$\mathscr{F}$据说收敛到E的元素。 如果有界过滤器具有极限，则每个更细过滤器具有相同的极限（对于阶结构）。

a) 在阶中，有界过滤器$\mathscr{F}$对于阶结构具有极限，$\inf_X (\sup X - \inf X) = 0$作为X运行在$\mathscr{F}$的有界元素的集合上是必要且充分的（可以利用以下事实：在E中，$(x_\alpha)$和$(y_\alpha)$是两个下界的递减族，具有相同的右向指标集合，则

为了证明这个公式，我们观察到对于指标$\beta, \gamma$的每一个对都有$\inf(x_\alpha + y_\alpha) \leq x_\beta + y_\gamma$。

b) 令A经A的过滤器$\mathscr{G}$、$f$映射过滤集合进入E；如果$f(\mathscr{G})$是E中具有极限的有界滤波器的基（对于阶结构），则$f$相对于$\mathscr{G}$具有极限，对于E的阶结构。证明如果 A 是有向有序集合并且 $f$ 是 A 到 E 中的递增映射，并且在 A 上有界，则 $f$ 相对于 A 的截面滤波器具有极限，等于 $\sup_{x \in A} f(x)$。

c) 令 $(E_\ell)$ 为 $E_\ell$ 的完全格序空间、E 乘积完全格序空间族。在阶中，E上的有界滤波器$\mathscr{F}$对于阶结构收敛，对于每个$\ell$，具有基$\mathrm{pr}_\ell(\mathscr{F})$的滤波器在$E_\ell$收敛是充分必要的；如果$a_\ell$是它的极限，那么$a = (a_\ell)$就是$\mathscr{F}$的极限。