习题 2, § 2

a) 令 $L$ 为 Riesz 空间 E 上的正线性形式。考虑 E 的元素 $a > 0$ 和正线性形式 $M \leq L$ 的集合，这样：对于每个$x$，$1^\circ$ $M(x) = L(x)$使得 $0 \leq x \leq a$； $2^\circ$$M(x) = 0$对应$x \geq 0$与$a$的异类。证明正线性形式的这个集合具有最大的元素 $L_a$，并且对于每个 $x \geq 0$，$L_a(x) = \inf L(y)$，其中 $y$ 超过所有元素的集合，使得$0 \leq y \leq x$ 和$x - y$ 与$a$ 不相容。证明对于每个标量 $\lambda > 0$ 都有 $L_{\lambda a} = L_a$，并且如果 $a$ 和 $b$ 是外星的，则$L_{a+b} \leq L_a + L_b$。如果 E 是完全格序的，证明如果 $a$ 和 $b$ 在 E 中是外来的，则 $L_{a+b} = L_a + L_b$。

b) 取E为$\mathbf{R}$、$L(x) = x(\frac{1}{2})$区间$I = [0, 1]$上连续实值函数的Riesz空间；通过例表明，一个人可以为两个外星人E的元素$a, b$拥有$L_{a+b} < L_a + L_b$。