习题 8, § 2

令 E 为 Riesz 空间，$(U_\iota)$ E 上的正线性形式系列。我们考虑由半范数 $U_\iota(|x|)$ 定义的 E 上的拓扑 $\mathscr{T}$。

a) 证明 E 的子空间 H 由 $x$ 形成，使得所有 $\iota$ 的 $U_\iota(|x|) = 0$ 是 E 的孤立子空间（$§ 1$，Exer.4）；与 E 相关的 Hausdorff 空间是商空间 $E/H$；通过商，$E/H$上的$U_\ell$定义正线性形式$\dot{U}_\ell$，以及$E/H$上的商拓扑由半范数$\dot{U}_\ell(|x|)$定义。

b) 证明空间 $E$ 映射 $x \mapsto |x|$ 是一致连续的，并由此推导出如果拓扑 $\mathscr{T}$ 是 Hausdorff 则它与 $E$ 的有序向量空间结构兼容。

c) 假设拓扑$\mathscr{T}$是豪斯多夫且$E$是完全格序的；证明$E$中的每个能带$B$都是闭环，并且如果$B'$是由元素与$B$的每个元素异类形成的能带，那么$E$是$B$的拓扑直和并且$B'$。

d) 假设拓扑 $\mathscr{T}$ 是 Hausdorff。设$\widehat{E}$为$E$的补全；如果$P$是$E$元素$\geqslant 0$集合，则表明$\widehat{E}$定义中$P$的闭包$\overline{P}$在Riesz空间结构上$\widehat{E}$（cf.§1, No. 2）。

e) 如果 $E$ 是 Hausdorff 并且对于拓扑 $\mathscr{T}$ 是完整的，证明在阶中对于集合 $A \subset E$，定向于关系 $\leqslant$，要在 $E$ 中有一个上等，有必要且充分的是，对于每个指标 $\ell$，$U_\ell(x)$ 都以 $A$ 为界；对于$E$上的每一个连续的递增数值函数$f$，则有$\sup_{x \in A} f(x) = f(\sup A)$。由此推断 $E$ 是完全格序的。

f) 假设 $E$ 是 Hausdorff 并且对于拓扑 $\mathscr{T}$ 是完整的。证明如果$E$上的过滤器$\mathfrak{F}$对于阶结构具有极限为$E$（§ 1，Exer.9），那么它会收敛到对于拓扑$\mathscr{T}$相同的极限（使使用 e))。