习题 14, § 1

a) 令 $X$ 为具有可数基的局部紧凑空间。证明配备模糊拓扑的空间 $\mathscr{M}_+(X)$ 是可度量的。

b) 令$L$为递增序列$(k_n)_{n \in \mathbf{Z}}$之整数$\geqslant 0$之集合，趋向于$+\infty$与$n$，以及零趋向于$n \leqslant 0$，除了有限的情况外$n$值数；令 $P$ 为等价类的集合，由相同序列 $(k_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ 的平移 $(k_{n+h})_{n \in \mathbf{Z}}$ 形成（其中 $h$ 超过 $\mathbf{Z}$）； $L$ 和 $P$ 是不可数的。令$X$为$P$和$\mathbf{Z}$的离散拓扑和空间；令 $H$ 为 $X$ 上的正测量的集合，定义如下：对于每个 $\alpha \in P$ 和每个序列 $g \in \alpha$，$\nu_{\alpha, g}$ 是由质量 $+1$ 在点 $\alpha$ 定义的测量，质量$0$在$P$的另一个点，每点$n \in \mathbf{Z}$质量$g(n)$；取 $H$ 为由措施 $\nu_{\alpha, g}$ 生成的圆锥体。现在让 $\mu$ 为 $X$ 的度量，由 $P$ 的每个点处的质量 $+1$ 和 $\mathbf{Z}$ 的每个点处的质量 $0$ 定义。证明$\mu$在$H$的模糊闭包中，但不在$H$的任何模糊边界子集的模糊闭包中。 （利用以下事实：对于 $\mathbf{Z}$ 到 $\mathbf{N}$ 的每个映射 $f$，都存在递增序列 $(k_n) \in L$，这样对于每个 $h \in \mathbf{Z}$，$\lim_{n \to \infty} k_{n+h}/f(n) = +\infty$。）