习题 17, § 1

对于局部紧凑空间 $X$ 上的每个测度 $\mu$ 以及 $X$ 的每个同胚 $\sigma$ 自身，令 $\mu_\sigma$ 为测度 $f \mapsto \mu(f \circ \sigma)$。

a) 证明$|\mu_\sigma| = |\mu|_\sigma$。

b) 将$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$配备模糊拓扑，并用局部凸空间$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$的连续自同态的$\mathscr{A}$集合表示；在$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$的模糊边界的子集中为$\mathscr{A}$配备均匀收敛的拓扑。令$\Gamma$为X自身同胚的群，配备GT中定义的拓扑$\mathscr{T}_\beta$，X, §3, No. 5。对于每个$\sigma \in \Gamma$，令$A_\sigma$为映射$\mu \mapsto \mu_\sigma$，其中属于到$\mathscr{A}$；证明$\Gamma$到$\mathscr{A}$的映射$\sigma \mapsto A_\sigma$是连续的。