习题 2, § 4

a) 设X为$\mathbf{R}$的区间$[0, 1]$；证明如果 $(a_k)_{1 \leqslant k \leqslant n}$ 是 X 的成对不同元素中的任意有限序列，则 n 个函数 $|x - a_k|$ ($1 \leqslant k \leqslant n$) 是线性无关的。由此推论，$X \times X$上定义的连续函数$|x - y|$不是形式$\sum_{i=1}^n u_i(x)v_i(y)$，其中$u_i$和$v_i$是连续的。

b) 对于每个小节$\mu \in \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$、集合 $f_\mu(y) = \int |x - y|\ d\mu(x)$。证明 $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ 到 $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ 的线性映射 $\mu \mapsto f_\mu$ 是单射的，对于像具有 $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ 的稠密线性子空间 L，并且对于规范化的空间拓扑是连续的，但不是双连续的$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ 和 L。 （观察 L 包含常数和分段线性函数。）

c) 令 $u_i$ ($1 \leqslant i \leqslant m$) 为 $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ 中的任意 m 函数，令 V 为 $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ 与 $u_i$ 正交的线性子空间，因此它的余维数为 $\leqslant m$ $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$。证明，如果 B 是 X 上的测度 $\mu$ 的集合，使得 $\| \mu \| \leqslant 1$，则存在测度 $\mu \in B$ 和 $\nu \in V$，使得 $\int f_\mu(y)\ d\nu(y)$ 任意大（利用 b））。由此推论，如果B、$\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$和$\mathscr{M}(X \times X; \mathbf{C})$配备了模糊拓扑，则$B \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$到$\mathscr{M}(X \times X; \mathbf{C})$的映射$(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$不是连续的。