习题 6, § 1

令 $f$ 为在 X 上定义的数值函数 $\geq 0$。

a) 表明，为了使 $\mathscr{M}_+(X)$ 到 $\overline{\mathbf{R}}$ 的映射 $\mu \mapsto \mu^*(f)$ 对于模糊的拓扑是连续的，$f$ 在紧凑支持下是连续的（利用 Exer.2）是必要的（也是充分的）。为了使$\mu \mapsto \mu^*(f)$对于模糊拓扑来说是下半连续的，$f$是下半连续的是必要的（并且是充分的，cf.命题4）。

b) 表明，对于准强拓扑 (Ch. III, §1，Exer. 8)，$\mathscr{M}_+(X)$ 的映射 $\mu \mapsto \mu^*(f)$ 到 $\overline{\mathbf{R}}$ 是连续的，$f$ 有界且具有紧支持是必要且充分的（方法类似于 a)）。由此推论，对于紧集的可数并的补集函数$f \geq 0$，零，映射$\mu \mapsto \mu^*(f)$对于准强拓扑来说是下半连续的（利用Th.3） (cf.Exer.7 b))。

c) 证明，对于超强拓扑（Ch. III, §1，Exer. 15），$\mathscr{M}_+(X) \cap \mathscr{M}^1(X)$ 到 $\overline{\mathbf{R}}$ 的映射 $\mu \mapsto \mu^*(f)$ 是连续的，$f$ 有界是充分必要的；对于X上定义的每个函数$f \geq 0$，$\mu \mapsto \mu^*(f)$对于超强拓扑来说是下半连续的。

d) 证明，对于弱拓扑，$\mathscr{M}_+(X) \cap \mathscr{M}^1(X)$ 的映射 $\mu \mapsto \mu^*(f)$ 进入 $\overline{\mathbf{R}}$ 是连续的（第 1 章） III, §1，埃克瑟。 15) $f$在X上连续且在点无穷远处趋于0是充分必要的；为了使$\mu \mapsto \mu^*(f)$对于弱拓扑来说是下半连续，$f$是下半连续是充分必要的。