习题 12, § 5

令 $\mu$ 为 $X$ 上的$\geqslant 0$ 测度。令$(f_n)$为$X$上可积函数的序列，在$X$上逐点收敛到函数$f$。

a) 证明如果 $f$ 可积并且如果

那么对于每个$\varepsilon > 0$，都存在一个可积的集合$A$、可积函数$g \geqslant 0$和整数$n_0$，这样，对于每个$n \geqslant n_0$，

和 $|f_n(x)| \leqslant g(x)$ 对于所有 $x \in A$ （考虑一个可积的集合 $B$，使得

并且使得$f$以$B$为界，并应用Egoroff的定理）。

b) 假设对于每一个$\varepsilon > 0$，都存在一个可测量的集合$A$、可积函数$g \geqslant 0$和整数$n_0$，这样，对于每一个$n \geqslant n_0$，都有$\int |f_n| \varphi_{\mathbf{C}_A} d\mu \leqslant \varepsilon$和$|f_n(x)| \leqslant g(x)$全部$x \in A$。证明，在这些条件下，$f$是可积的，并且$f_n$在空间$L^1$中趋向于$f$。 逆命题。

c) 假设$F = \mathbf{R}$；通过例证明，对于$f$可积且$\int f \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int f_n \, d\mu$成立，a)的条件是不够的，并且b)的条件不是必要的。