习题 18, § 5

令 $X$ 为局部紧致空间，使得在 $X$ 中，每个相对紧致的开路集合的闭包又是一个开路集合（一块 Stone 空间；cf. Ch. II, §1，Exer. 13）；令 $\mu$ 为 $X$ 上的正测度，其支持与 $X$ 相同，使得 $X$ 上的每个有界可积数值函数等价于有限连续函数 (§4, Exer.10)。

a) 证明，在 $X$ 中，每个无处稠密集合 $N$ 都是局部可忽略的（对于每个紧集 $K$，考虑连续函数等价于 $\varphi_{K \cap \overline{N}}$）。

b) 令$f$为$X$上的可测数值函数（有限或非有限），并令$g$为$X$上的最大的下半连续函数，即$\leq f$。证明$f$和$g$几乎处处都相等（注，如果$f$到紧集$K$的限制连续，则$f$和$g$在$K$内部相等，并利用a））。

c) 从 b) 中推出，在 $X$ 中，对于 $\mu$ 而言，每个局部可忽略的集合都是无处稠密的集合。特别是，$X$中每一个微薄的集合都不是密集的。