习题 20, § 5

令$X$为紧凑空间，$\mu$为$X$的正测度，$(f_n)$序列为$\mu$可测量数值函数。证明以下性质是等价的：

(i) $X$ 中几乎处处存在$(f_n)$ 趋于 0 的子序列$(f_{n_k})$； (ii) 存在有限实数的序列 $(\lambda_n)$ 使得

使得级数与一般的项$\lambda_n f_n(x)$在$X$中几乎处处收敛；

(iii) 存在有限实数的序列 $(\lambda_n)$ 使得

使得级数与一般项$\lambda_n f_n(x)$在$X$中几乎处处绝对收敛。

（要看出 (i) 蕴含 (ii) 和 (iii)，请利用 Egoroff 的定理。要了解 (iii) 蕴含 (i)，请证明 (iii) 蕴含 $X$ 的可测子集以及子序列的存在递增序列 $(A_k)$ $(f_n)$的$(f_{n_k})$，使得$\mu(A_k)$趋向于$\mu(X)$且$\int |f_{n_k} \varphi_{A_k}| d\mu$趋于0。）