习题 30, § 5

令 $\Phi(t,u,v)$ 为$0 \leqslant t \leqslant 1$、$u \geqslant 0$、$v \geqslant 0$ 的有限连续数值函数。对于$I = [0,1]$上定义的每个数值函数$f \geqslant 0$，可通过勒贝格测度测量，$f^*$表示f的递减重排（Exer.29）。在阶中，对于函数 $f \geqslant 0$、$g \geqslant 0$ 中的每一个对，可测（对于勒贝格测度）且以 I为界，有

函数$\Phi$满足以下三个条件是充分必要的：

(2)

对于所有 $t \in I$、$u \geqslant 0$、$v \geqslant 0$ 和 $h \geqslant 0$；

(3)

和

对于所有$a, h, \delta$，使得$0 \leq a \leq 1 - 2\delta ,\ h \geq 0$。

（为证明（3）和（4）是必要的，取$f$和$g$为合适的步骤函数；然后由（3）和（4）推导出（2）。为证明条件是充分的，首先利用$\Phi$的连续性从（2）推导出，

对于所有$t \in I,\ u \geq 0,\ v \geq 0,\ h \geq 0,\ k \geq 0$。然后利用(3)和(4)，通过依次比较积分，证明(1)当$f$和$g$为步骤函数时，$I$中不连续性的点为形式$r/n$($0 \leq r \leq n$)

和

其中$f_i$和$g_i$仅在两个连续间隔$[ (r-1)/n, r/n ]$和$[ r/n, (r+1)/n ]$与$f_j$和$g_j$不同。最后，以适当的方式传递给极限来证明一般情况下的（1）。）

如果 $\Phi$ 两次连续可导，条件 (2)、(3) 和 (4) 分别等价于

泛化到任意数变量的函数 $\Phi(t, u_1, \ldots, u_m)$。