习题 6, § 5

对于每个整数$n \geqslant 1$，令$f_n(x) = [2^n x] - 2[2^{n-1} x]$。在$\mathbf{R}$的映射的紧凑空间到$\{0, 1\}$（配备逐点收敛的拓扑）中，令$f$为序列$(f_n)$的簇点。证明，对于每个二元数$r$，对于所有$x \in \mathbf{R}$，$f(r + x) = f(x)$，对于每个$x \in \mathbf{R}$，$f(r - x) = 1 - f(x)$与二元数不同。由此推断，对于勒贝格测度 $\mu$，$f$ 是不可测的。 （通过矛盾论证；令$A$为$x \in [0, 1]$的集合，使得$f(x) = 1$，并假设$A$可测且$\mu(A) = \alpha > 0$；证明存在集合$I$，即包含于的开区间的有限并 $]0, 1[$，使得$\mu(I \cap \complement A) \leqslant \alpha/4$和$\mu(A \cap \complement I) \leqslant \alpha/4$；在考虑$I$和形式$]k/2^n, (k+1)/2^n[$中包含的区间时，表明对于$r$二元和$x$，得到与关系$f(r - x) = 1 - f(x)$的矛盾非二元。）