习题 11, § 6

令 $g$ 为数值函数 $\geqslant 0$ 属于到 $\mathscr{L}^p$ ($1 \leqslant p < +\infty$)。用函数$f \in \mathscr{L}_F^p$的$I_g$集合表示，使得$|f| \leqslant g$。

a) 证明在 $I_g$ 上，阶 $p$ 的均值收敛性拓扑与测度收敛性拓扑相同。

b) 如果$p \leqslant q < r$（或$q < r \leqslant p$），证明集合 $I_g \cap \mathscr{L}_F^q \cap \mathscr{L}_F^r$ 拓扑阶 $q$ 的均值收敛比拓扑的均值收敛更粗糙（或更细） 阶$r$（对于两个函数$f, f_0$属于到这个集合，写$|f - f_0|^q \leqslant |f - f_0|^s (2g)^{q-s}$并使用Hölder的不等式，适当选择$s$和对共轭指数）。通过例表明这些拓扑可以是不同的（cf.Exer.8）。

c) 令$\mu$为$X = ]0, +\infty[$的勒贝格测度； 函数

属于到$\mathscr{L}^p$，但$q \neq p$ 没有$\mathscr{L}^q$。证明如果集合 $I_g \cap \mathscr{L}^q$ 上阶 $q$ 的均值收敛性$q \neq p$、拓扑不同于测度上的拓扑收敛性。