习题 17, § 6

令 $\mu$ 为$X = [0, 1]$ 上的勒贝格测度。 $X$上步骤函数的一个定义序列$(f_n)$由以下条件：$f_0$是常数1；对于每个整数$n > 0$，令$m$为最大的整数，使得$2^m \leq n$，并写成$n = 2^m + k$； $f_n$在区间$[\frac{2k}{2^{m+1}}, \frac{2k+1}{2^{m+1}}]$上函数等于$2^{m/2}$，在区间$[\frac{2k+1}{2^{m+1}}, \frac{2k+2}{2^{m+1}}]$上等于$-2^{m/2}$，在$X$的另一个点等于0。

a) 证明序列 $(f_n)$ 是正交标准化（*Haar 正交系统*）。

b) 令$V_n$为$\mathscr{L}_C^2$（超过$\mathbf{C}$）的线性子空间，由$f_k$与指标$k \leq n$生成。证明在 $n+1$ 半开区间中存在 $[0, 1[$ 的划分，使得在每个区间中，每个函数属于到 $V_n$ 都是常数。反之，由此推导出，对于每个$n+1$区间上恒定的函数$g$，$V_n$中存在函数等于$[0, 1[$上的$g$（$V_n$有注） 维数$n+1$）。

c) 令$g$为$\mathscr{L}_C^2$中的任意函数；从b)推导出，如果$h$是$V_n$中唯一的函数，而$N_2(g-h)$是最小的，那么，在$h$恒定的每个区间$[\alpha, \beta[$中，都有$h(x) = \frac{1}{\beta-\alpha} \int_\alpha^\beta g(t)\, dt$。

d) 证明对于每个复值函数 $g$，在 $X$、级数上定义且连续，与一般项 $(g|f_n)f_n(x)$ 一致收敛于 $[0, 1[$ 并且具有和 $g(x)$（利用 c））。由此推断序列 $(f_n)$ 是总计。